Question

13．若-2≤x≤2，则函数$f（x）={（\frac{1}{4}）}^{x}-3•{（\frac{1}{2}）}^{x}+2$的值域为[$-\frac{1}{4}$，6]．

Answer 1

分析 先写出$f（x）=（\frac{1}{2}）^{2x}-3•（\frac{1}{2}）^{x}+2$，从而可设$（\frac{1}{2}）^{x}=t$，根据x的范围即可求出t的范围，进而得到二次函数y=t²-3t+2，这样配方求该函数的值域即可得出f（x）的值域．

解答 解：$f（x）=（\frac{1}{2}）^{2x}-3•（\frac{1}{2}）^{x}+2$，-2≤x≤2；
设$（\frac{1}{2}）^{x}=t$，则$\frac{1}{4}≤t≤4$；
∴$y={t}^{2}-3t+2=（t-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$；
∴$t=\frac{3}{2}$时，${y}_{min}=-\frac{1}{4}$，t=4时，y_max=6；
∴f（x）的值域为$[-\frac{1}{4}，6]$．
故答案为：$[-\frac{1}{4}，6]$．

点评 考查指数式的运算，换元法求函数的值域，以及配方求二次函数值域的方法．