Question

10．F是抛物线C：y²=4x的焦点，过F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l₁，l₂，l₁交抛物线C于点A，B，l₂交抛物线C于点G，H，则$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的最小值是（　　）

• A． 8
• B． 8$\sqrt{2}$
• C． 16
• D． 16$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的最小值．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0），设l₁的方程：y=k（x-1），l₂的方程y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得：x²-（4k²+2）x+1=0，
∴x₃+x₄=4k²+2，x₃x₄=1，…（9分）
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$=（$\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{FG}$）（$\overrightarrow{HF}$+$\overrightarrow{FB}$）=|$\overrightarrow{AF}$|•|$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FG}$|•|$\overrightarrow{HF}$|，
=|x₁+1|•|x₂+1|+|x₃+1|•|x₄+1|
=（x₁x₂+x₁+x₂+1）+（x₃x₄+x₃+x₄+1）
=8+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k²≥8+2$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}×4{k}^{2}}$=16．
当且仅当$\frac{4}{{k}^{2}}$=4k²，即k=±1时，$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$有最小值16，…（12分）
故选C．

点评 本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．