Question

19．如图，在四棱锥E-ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD，连结AC交BD于点O．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）判断在线段AE上是否存在点M，使得DM∥平面BEC，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：BD⊥AC，利用EC⊥BD，AC∩EC=C，可得BD⊥平面AEC，即可证明平面AEC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，于是DM∥平面BEC．

解答 证明：（Ⅰ）设BD的中点为O′，则AO′⊥BD，CO′⊥BD．∴A，O′，C三点共线，
∴BD⊥AC，
∵EC⊥BD，AC∩EC=C，
∴BD⊥平面AEC，
∵BD?平面ABCD，
∴平面AEC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）M为线段AE的中点时，DM∥平面EBC，理由如下：
取AB中点N，连接MN，DN，
∵M是AE的中点，
∴MN∥BE，又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题．