Question

14．已知f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A为锐角且f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a=2，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$求得A，利用余弦定理，基本不等式求得b+c的最大值，可得△ABC的周长的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题可知f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）由f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2A-$\frac{π}{3}$），A为锐角，∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，或2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，
解得A=$\frac{π}{2}$ （舍去），或A=$\frac{π}{3}$，∴a²=4=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc，
∴${（{b+c}）^2}-\frac{{3{{（{b+c}）}^2}}}{4}≤4$，∴b+c≤4，当且仅当b=c时，取等号，故b+c的最大值为4，
∴△ABC的周长的最大值为6．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．