Question

7．某高中学校为展示学生的青春风采，举办了校园歌手大赛，该大赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的学生按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等5名学生参加决赛．
（I）求决赛中学生甲、乙恰好排在前两位的概率；
（Ⅱ）若决赛中学生甲和学生乙之间间隔的人数记为X，求X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“学生甲、乙恰好排在前两位”为事件A，先求出基本事件总数n=${A}_{5}^{5}$，再求出决赛中学生甲、乙恰好排在前两位包含听基本事件个数，由此能求出决赛中学生甲、乙恰好排在前两位的概率．
（Ⅱ）随机变量X的可能的值为0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望EX．

解答 解：（Ⅰ）设“学生甲、乙恰好排在前两位”为事件A，
则$P（A）=\frac{A_2^2A_3^3}{A_5^5}=\frac{1}{10}$．（3分）
（Ⅱ）随机变量X的可能的值为0，1，2，3．（4分）
$P（X=0）=\frac{C_2^1A_4^4}{A_5^5}=\frac{2}{5}$，（5分）
$P（X=1）=\frac{C_3^1C_2^1A_3^3}{A_5^5}=\frac{3}{10}$，（7分）
$P（X=2）=\frac{C_3^2C_2^1C_2^1A_2^2}{A_5^5}=\frac{1}{5}$，（9分）
$P（X=3）=\frac{C_2^1A_3^3}{A_5^5}=\frac{1}{10}$．（10分）
随机变量X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

（11分）
∴$EX=0×\frac{2}{5}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{5}+3×\frac{1}{10}=1$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．