Question

2．已知函数f（x）的实义域为R，其图象关于点（-1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜-1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．则不等式xf（x-1）＞f（0）的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由题意设g（x）=（x+1）f（x），求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）在（-∞，-1）上递增，由条件和图象平移判断出：函数f（x-1）的图象关于点（0，0）中心对称，由奇函数的图象可得：函数f（x-1）是奇函数，令h（x）=g（x-1）=xf（x-1），判断出h（x）的奇偶性和单调性，再等价转化不等式，求出不等式的解集．

解答 解：由题意设g（x）=（x+1）f（x），
则g′（x）=f（x）+（x+1）f′（x），
∵当x＜-1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0，
∴当x＜-1时，f（x）+（x+1）f′（x）＞0，
则g（x）在（-∞，-1）上递增，
∵函数f（x）的定义域为R，其图象关于点（-1，0）中心对称，
∴函数f（x-1）的图象关于点（0，0）中心对称，
则函数f（x-1）是奇函数，
令h（x）=g（x-1）=xf（x-1），
∴h（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0）递增，
由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递减，
∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x-1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1），
即|x|＜1，解得-1＜x＜1，
∴不等式的解集是（-1，1），
故选C．

点评 本题考查导数与单调性的关系，偶函数的定义以及性质，函数图象的平移变换，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力．