Question

13．已知函数y=f（x）满足f（2+x）+f（2-x）=0，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+4，x＞2}\\{-{x}^{2}+4x-4，x＜2}\end{array}\right.$，若曲线y=f（x）与y=g（x）交于A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n），则$\sum_{i=1}^{n}$（x_i+y_i）等于（　　）

• A． 4n
• B． 2n
• C． n
• D． 0

Answer 1

分析 由题意可得f（x）的图象关于点（2，0）对称；画出y=g（x）的图象，可得g（x）的图象也关于点（2，0）对称，即有f（x）与g（x）的交点关于点（2，0）对称，相加计算即可得到所求和．

解答 解：函数y=f（x）满足f（2+x）+f（2-x）=0，
可得f（x）的图象关于点（2，0）对称；
由g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+4，x＞2}\\{-{x}^{2}+4x-4，x＜2}\end{array}\right.$，
可得图象如右，
g（x）的图象也关于点（2，0）对称，
即有f（x）与g（x）的交点关于点（2，0）对称，
则$\sum_{i=1}^{n}$（x_i+y_i）=$\sum_{i=1}^{n}$x_i+$\sum_{i=1}^{n}$y_i，
即有$\sum_{i=1}^{n}$y_i=0，
可设t=x₁+x₂+x₃+…+x_n，
t=x_n+x_n-1+x_n-2+…+x₁，
相加可得2t=（x₁+x_n）+（x₂+x_n-1）+…+（x_n+x₁）
=4+4+…+4=4n，
解得t=2n．
故选：B．

点评 本题考查分段函数及应用，考查函数的对称性和运用，注意运用数形结合的思想方法，属于中档题．