Question

8．已知函数f（x）=mlnx，g（x）=$\frac{x}{x+1}$（x＞0）．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）•g（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （I）利用导数的运算法则可得切线的斜率，利用点斜式即可得出．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{m}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，F′（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{m{x}^{2}+（2m-1）x+m}{x（x+1）^{2}}$，对m分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，曲线y=f（x）g（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$．
y′=$\frac{（1+lnx）（x+1）-xlnx}{（x+1）^{2}}$=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$，…（2分）
x=1时，切线的斜率为$\frac{1}{2}$，又切线过点（1，0）．
所以切线方程为y=$\frac{1}{2}$（x-1），化为：x-2y-1=0．…（4分）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{m}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$，
F′（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{m}{x}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{m{x}^{2}+（2m-1）x+m}{x（x+1）^{2}}$，
当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；…（6分）
当m＞0时，令k（x）=mx²+（2m-1）x+m，△=（2m-1）²-4m²=1-4m，
当△≤0时，即m≥$\frac{1}{4}$，k（x）≥0，
此时F′（x）≥0，函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；…（8分）
当△＞0时，即$0＜m＜\frac{1}{4}$，
方程mx²+（2m-1）x+m=0有两个不等实根x₁＜x₂，（x₁=$\frac{（1-2m）-\sqrt{1-4m}}{2m}$，x₂=$\frac{1-2m+\sqrt{1-4m}}{2m}$）．
∴x₁+x₂=$\frac{1-2m}{m}$=$\frac{1}{m}$-2＞2，x₁•x₂=1，…（10分）
所以0＜x₁＜1＜x₂，
此时，函数F（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减
综上所述，当m≤0时，F（x）的单减区间是（0，+∞）；
当$0＜m＜\frac{1}{4}$时，F（x）的单减区间是（x₁，x₂），单增区间是（0，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；
当$m≥\frac{1}{4}$时，F（x）单增区间是（0，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、切线的斜率、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．