Question

5．若实数a，b，c，d满足$\frac{2{a}^{2}-lna}{b}$=$\frac{3c-2}{d}$=1，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为$\frac{1}{10}$．

Answer 1

分析 由题意可得b=-lna+2a²，d=3c-2．分别令y=f（x）=-lnx+2x²，y=g（x）=3x-2，转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值．设与直线y=3x-2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x₀，y₀），求出切点P到直线y=3x-2的距离d，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为d²．

解答 解：∵实数a，b，c，d满足$\frac{2{a}^{2}-lna}{b}$=$\frac{3c-2}{d}$=1
可得b=-lna+2a²，d=3c-2，
分别令y=f（x）=-lnx+2x²，y=g（x）=3x-2，
转化为两个函数f（x）与g（x）的点之间的距离的最小值，
f′（x）=-$\frac{1}{x}$+4x，设与直线y=3x-2平行且与曲线f（x）相切的切点为P（x₀，y₀），
则-$\frac{1}{{x}_{0}}$+4x₀=3，x₀＞0，解得x₀=1，可得切点P（1，2），
切点P（1，2）到直线y=3x-2的距离d=$\frac{|3-2-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$．
∴（a-c）²+（b-d）²的最小值为d²=$\frac{1}{10}$．
故答案为：$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查了利用导数研究曲线的切线、平行线之间的斜率关系、点到直线的距离公式、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．