Question

5．设f（x）=（lnx）ln（1-x）．
（1）求函数y=f（x）的图象在（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（2）求函数y=f′（x）的零点．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（$\frac{1}{2}$），f′（$\frac{1}{2}$），求出切线方程即可；
（2）令f′（x）=0，即（1-x）ln（1-x）-xlnx=0，令h（x）=（1-x）ln（1-x）-xlnx，（0＜x＜1），根据函数的单调性求出函数的零点即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（1-x）ln（1-x）-xlnx}{x（1-x）}$，
故f（$\frac{1}{2}$）=ln²$\frac{1}{2}$，f′（$\frac{1}{2}$）=0，
故切线方程是：y=ln²$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，令f′（x）=0，即（1-x）ln（1-x）-xlnx=0，
令h（x）=（1-x）ln（1-x）-xlnx，（0＜x＜1），
则h′（x）=lnx（1-x），h″（x）=$\frac{1-2x}{x（1-x）}$，
令h″（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令h″（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
故h′（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
故h′（x）＜h′（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{4}$＜0，
故h（x）在（0，1）递减，
而h（$\frac{1}{2}$）=0，
故h（x）在（0，1）的零点是x=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．