Question

16．设a，b为实数，函数y₁=x²+ax+b，y₂=x²+bx+a均有两个不同的零点，且y=y₁y₂只有三个不同零点，则这三个不同零点之和为0．

Answer 1

分析 联立方程组求出y₁，y₂的公共零点，利用根与系数的关系求出y=y₁y₂另两个零点，从而得出三个零点之和．

解答 解：由题意可知y₁=x²+ax+b和y₂=x²+bx+a有公共零点．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax+b=0}\\{{x}^{2}+bx+a=0}\end{array}\right.$，
两式相减得：（a-b）x+b-a=0，
解得x=1．
∴x=1为y₁=x²+ax+b和y₂=x²+bx+a的公共零点．
∴1+a+b=0，即a+b=-1．
设y₁=x²+ax+b的另一零点为x₁，y₂=x²+bx+a的另一零点为x₂，
由根与系数的关系可得x₁=b，x₂=a．
∴y=y₁y₂的三个零点之和为a+b+1=0．
故答案为：0．

点评 本题考查了二次函数根与系数的关系，函数零点的计算，属于中档题．