Question

1．设f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x|x|．
（1）求g（x）在x=-1处的切线方程；
（2）令F（x）=x•f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；
（3）若任意x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＞x₂，都有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数g（x）的导数，计算g（-1），g′（-1），求出切线方程即可；
（2）求出函数F（x）的导函数，得到导函数的单调性，从而求出函数F（x）的单调性即可；
（3）已知可转化为x₁＞x₂≥1时，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，令h（x）=mg（x）-xf（x）=$\frac{m}{2}$x²-xlnx，则h（x）为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）x＜0时，g（x）=-$\frac{1}{2}$x²，g′（x）=-x，
故g（-1）=-$\frac{1}{2}$，g′（-1）=1，
故切线方程是：y+$\frac{1}{2}$=（x+1），
即x-y+$\frac{1}{2}$=0；
（2）F（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$x|x|=xlnx-$\frac{1}{2}$x²，（x＞0），
F′（x）=lnx-x+1，F″（x）=$\frac{1}{x}$-1，
令F″（x）＞0，解得：0＜x＜1，令F″（x）＜0，解得：x＞1，
故F′（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故F′（x）≤F′（1）=0，
故F（x）在（0，+∞）递减；
（3）已知可转化为x₁＞x₂≥1时，mg（x₁）-x₁f（x₁）≥mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
令h（x）=mg（x）-xf（x）=$\frac{m}{2}$x²-xlnx，则h（x）为单调递增的函数，
故h′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥$\frac{lnx+1}{x}$恒成立，
令m（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，则m′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴当x∈[1，+∞）时，m′（x）≤0，m（x）单调递减，
m（x）≤m（1）=1，
故m≥1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．