Question

9．设f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-1，则使f（x）＞0的x的取值范围x＞1或-1＜x＜0．

Answer 1

分析 利用函数为奇函数，将x＜0转化为-x＞0，再利用当x＞0时，f（x）=x²-1，求得当x＜0时，f（x）=-x²+1，即可求得答案．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=x²-1，
∴f（-x）=（-x）²-1=x²-1，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-x²+1，
∴当x＜0时，f（x）=-x²+1．
∴f（x）＞0等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{x}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{-{x}^{2}+1＞0}\end{array}\right.$，
∴x＞1或-1＜x＜0，
故答案为x＞1或-1＜x＜0．

点评 本题考查了函数解析式的求解及常用方法．对于求函数解析式的方法，一般有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．本题解题的关键是运用函数的偶函数的性质，将要求的范围转化到已知的范围求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．