Question

11．设函数f（x）=e^x-x，h（x）=f（x）+x-alnx．
（1）求函数f（x）在区间[-1，1]上的值域；
（2）证明：当a＞0时，h（x）≥2a-alna．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；
（2）求出h（x）的导数，根据函数的单调性，求出h（x）的最小值，从而证出结论即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0，
在（-1，0）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
在（0，1）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x∈[-1，1]时，f（x）_min=f（0）=1，
又∵$f（-1）=1+\frac{1}{e}，f（1）=e-1，f（-1）＜f（1）$，
∴函数的值域为[1，e-1]．
（2）证明：∵h（x）=e^x-alnx，$h'（x）={e^x}-\frac{a}{x}=0$，即${e^x}=\frac{a}{x}（x＞0）$，
当a＞0时该方程有唯一零点记为x₀，即${e^{x_0}}=\frac{a}{x_0}$，
当x∈（0，x₀）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（x₀，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
∴$h{（x）_{min}}=h（{x_0}）={e^{x_0}}-aln{x_0}$
=$\frac{a}{x_0}+aln\frac{1}{x_0}=\frac{a}{x_0}+aln\frac{{{e^{x_0}}}}{a}$
=$\frac{a}{x_0}+aln{e^{x_0}}-alna=\frac{a}{x_0}+a{x_0}-alna≥2a-alna$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．