Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{{（\frac{1}{2}）}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（f（x））-$\frac{3}{2}$=0在实数集范围内无解，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$）
• C． [0，+∞）
• D． （-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 根据题意可得x＜0时，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞0，即可得到k（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$=0，方程无解，则k≥0，问题得以解决．再讨论x≥0时的情况．

解答 解：当x＜0时，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$＞0，
∴f（f（x））=k（$\frac{1}{2}$）^x+2，
∴k（$\frac{1}{2}$）^x+2-$\frac{3}{2}$=0
∴k（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{2}$=0，
当k≥0时方程无解，
当x≥0时，f（x）=kx+2，
若k≥0，则f（x）=kx+2≥2，
∴f（f（x））=k（f（x））≥2，
∴方程f（f（x））-$\frac{3}{2}$=0，方程无解，
综上所述a≥0．
故选：C．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题