Question

13．已知函数f（x）=（2x+1）e^x+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）≤0．则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{-\frac{3}{2}，-\frac{3}{2e}}）$
• B． $[{-\frac{3}{2e}，-\frac{5}{{3{e^2}}}}）$
• C． $[{-\frac{3}{2}，-\frac{5}{{3{e^2}}}}）$
• D． $[{-2e，-\frac{3}{2e}}）$

Answer 1

分析 问题转化为mx≤-（2x+1）e^x+1，设g（x）=mx，h（x）=-（2x+1）e^x+1，根据函数的单调性结合函数图象得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：依题意由f（x）≤0，得（2x+1）e^x+1+mx≤0，即mx≤-（2x+1）e^x+1．
设g（x）=mx，h（x）=-（2x+1）e^x+1，
则h'（x）=-[2e^x+1+（2x+1）e^x+1]=-（2x+3）e^x+1．
由h'（x）＞0得-（2x+3）＞0，即$x＜-\frac{3}{2}$；
由h'（x）＜0得-（2x+3）＜0，即$x＞-\frac{3}{2}$．
所以当$x=-\frac{3}{2}$时，函数h（x）取得极大值．
在同一直角坐标系中作出y=h（x），y=g（x）的大致图象如图所示，
当m≥0时，满足g（x）≤h（x）的整数解超过两个，不满足条件．
当m＜0时，要使g（x）≤h（x）的整数解只有两个，
则需要满足$\left\{{\begin{array}{l}{h（{-2}）≥g（{-2}）}\\{h（{-3}）＜g（{-3}）}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{3{e^{-1}}≥-2m}\\{5{e^{-2}}＜-3m}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{m≥-\frac{3}{2e}}\\{m＜-\frac{5}{{3{e^2}}}}\end{array}}\right.$，
所以$-\frac{3}{2e}≤m＜-\frac{5}{{3{e^2}}}$．
故选B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．