Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$），其部分图象如图所示．
（1）求函数 y=f（x）的解析式；
（2）若α∈（0，$\frac{π}{2}$），且cos（$\frac{π}{2}$+α）=-$\frac{3}{5}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A，T，由周期公式求出ω，将 （$\frac{7π}{12}$，-1）代入，结合φ范围可求φ，即可得到函数的解析式．
（2）利用诱导公式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，利用二倍角公式可求sin2α，cos2α，利用两角和的正弦函数公式即可计算求值得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由图象知 A=1，T=4，（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}$）=π，$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（3分）
将 （$\frac{7π}{12}$，-1）代入f（x）=sin（2x+φ），得sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=-1，…（4分）
因为-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$＜$\frac{7π}{6}$+φ＜$\frac{5π}{3}$，
所以$\frac{7π}{6}$+φ=$\frac{3π}{2}$，即φ=$\frac{π}{3}$，…（6分）
所以 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈R． …（7分）
（2）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（$\frac{π}{2}+α$）=-$\frac{3}{5}$，
∴sin$α=\frac{3}{5}$，cos$α=\frac{4}{5}$，…（9分）
∴sin2$α=2sinαcosα=\frac{24}{25}$，cos2α=1-2sin²α=$\frac{7}{25}$，…（11分）
∴f（α）=sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2αcos$\frac{π}{3}$+cos2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{24}{25}×\frac{1}{2}$+$\frac{7}{25}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{24}{50}+\frac{7\sqrt{3}}{50}$．…（14分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型，属于基础题．