Question

11．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f′（x）+2f（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}$，且f（1）=$\frac{1}{{4e}^{2}}$，则不等式f（lnx）＞f（3）的解集为（　　）

• A． （-∞，e³）
• B． （0，e³）
• C． （1，e³）
• D． （e³，+∞）

Answer 1

分析 由题意可知：[e^2x（x）]′=lnx+$\frac{1}{2}$，两边积分，求得函数f（x）的解析式，求导，利用函数的单调性，即可求得不等式的解集．

解答 解：由题意f′（x）+2f（x）=$\frac{lnx+\frac{1}{2}}{{e}^{2x}}$，即[e^2x•f（x）]′=lnx+$\frac{1}{2}$，
两边积分可知：e^2x（x）=xlnx-x+$\frac{1}{2}$x+C，
∴f（x）=$\frac{xlnx-\frac{1}{2}x+C}{{e}^{2x}}$，
由f（1）=$\frac{1}{{4e}^{2}}$，代入解得：C=$\frac{3}{4}$，
∴f（x）=$\frac{xlnx-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}{{e}^{2x}}$，
求导f′（x）=$\frac{-2xlnx+lnx+x-1}{{e}^{2x}}$，由e^2x＞0
令g（x）=-2xlnx+lnx+x-1，求导g′（x）=-2lnx+$\frac{1}{x}$-1，
令g′（x）=0，解得：x=1，
当x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增，
∴当x=1时，f′（x）取最大值，最大值为0，
即f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）=$\frac{xlnx-\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}}{{e}^{2x}}$，单调递减，
∴由f（lnx）＞f（3），则0＜lnx＜3，
即1＜x＜e³，
故不等式的解集（1，e³），
故选：C．

点评 本题考查函数解析式的求法，考查不定积分的求法，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．