Question

1．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x+$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求函数f（x）=0时x的集合；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，求出f（x）=0时x的取值集合即可；
（Ⅱ）方法一：求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时f（x）的取值范围，即可得出最小值．
方法二：根据正弦函数的单调性，求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时f（x）的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}+\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{6}）$；…（5分）
因为：f（x）=0时，$sin（2x-\frac{π}{6}）=0$，
所以：2x-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z；
所以函数f（x）=0时x的集合为
$\left\{{x|x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，k∈Z}\right\}$；…（8分）
（Ⅱ）因为x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
方法一：$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
所以$-\frac{1}{2}≤f（x）≤1$；
故函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为$-\frac{1}{2}$．…..（13分）
方法二：
∴当时2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
故函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值为$-\frac{1}{2}$．（13分）

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是综合题．