Question

15．已知抛物线M：y²=3x，过点（3，0）的直线l交抛物线M于A，B两点，则∠AOB=90°．

Answer 1

分析 设直线l的方程为x=ty+3，代入抛物线方程，由韦达定理求得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，则∠AOB=90°．

解答 解：依题意知直线l斜率不为0，则可设直线l的方程为x=ty+3，
代入y²=3x，得y²-3ty-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=3t，y₁y₂=-9．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₁，
=（ty₁+3）（ty₂+3）+y₁y₁，
=（1+t²）y₁y₁+3t（y₁+y₂）+9，
=（1+t²）（-9）+3t×3t+9，
=0
所以$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，即∠AOB=90°．
故答案为：90°．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．