Question

4．设点A、F（c，0）分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右顶点、右焦点，直线$x=\frac{a^2}{c}$交该双曲线的一条渐近线于点P．若△PAF是等腰三角形，则此双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 由|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，可得△PAF是等腰三角形即有|PA|=|AF|．设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，可得A（a，0），P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），运用两点的距离公式，化简整理，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：显然|PF|＞|PA|，|PF|＞|AF|，
所以由△PAF是等腰三角形得|PA|=|AF|．
设双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
可得A（a，0），P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
可得$\sqrt{（\frac{{a}^{2}}{c}-a）^{2}+（\frac{ab}{c}）^{2}}$=c-a，
化简为e²-e-2=0，
解得e=2（-1舍去）．
故答案为2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和等腰三角形的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．