Question

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，$a=\sqrt{3}$，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可求sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而可求A，∠CAD，BD，CD，由正弦定理可得b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠2=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠1=$\frac{2}{\sqrt{3}}$$\frac{\frac{c}{2}}{\sqrt{3}}$=c，可求sinB=$\frac{1}{2}$，c=1，即可利用三角形面积公式计算得解．

解答 解：∵△ABC的外接圆半径R为1，$a=\sqrt{3}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=2R$，
可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵边BC上一点D满足BD=2DC，
且∠BAD=90°，
∴A=120°，∠CAD=30°，
BD=$\frac{2}{3}$a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{1}{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴如图，由正弦定理可得：$\frac{b}{sin2}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}}$，可得：b=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠2=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin∠1=$\frac{2}{\sqrt{3}}$$\frac{\frac{c}{2}}{\sqrt{3}}$=c，
∴△BAC是等腰三角形，底角是30°，
∴sinB=$\frac{1}{2}$，可得：c=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．