Question

19．F₁、F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，若双曲线左支上存在一点P，使（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，且|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|，则此双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 利用向量的数量积的性质可得|OP|=|OF₂|=c=|OF₁|，可得PF₁⊥PF₂，运用双曲线的定义和已知条件，可得|PF₂|=3a，|PF₁|=a，再由勾股定理和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，
可得$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{O{F}_{1}}$²=0，
即有|OP|=|OF₁|=c=|OF₂|，
可得PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|，
由双曲线的定义得|PF₂|-|PF₁|=2a，
即有|PF₂|=3a，|PF₁|=a，
由勾股定理可得|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
即4c²=9a²+a²，
化简可得2c²=5a²，
由离心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中判断△PF₁F₂是直角三角形是解题的关键．