Question

13．阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点P（x₀，y₀，z₀）且一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）的平面α的方程为a（x-x₀）+b（y-y₀）+c（z-z₀）=0；过点P（x₀，y₀，z₀）且个方向向量为$\overrightarrow{d}$=（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为$\frac{x-{x}_{0}}{u}$=$\frac{y-{y}_{0}}{v}$=$\frac{z-{z}_{0}}{w}$，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为3x-5y+z-7=0，直线l是两个平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（　　）

• A． arcsin$\frac{\sqrt{10}}{35}$
• B． arcsin$\frac{\sqrt{7}}{5}$
• C． arcsin$\frac{\sqrt{7}}{15}$
• D． arcsin$\frac{\sqrt{14}}{55}$

Answer 1

分析 求出直线l的方向向量，平面α的法向量即可．

解答 解：∵平面α的方程为3x-5y+z-7=0，∴平面α的法向量可取$\overrightarrow{m}（3，-5，1）$
平面x-3y+7=0的法向量为$\overrightarrow{a}=（1，-3，0）$，平面4y+2z+1=0的法向量为$\overrightarrow{b}=（0，4，2）$，
设两平面的交线的方向向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}=x-3y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{b}=4y+2z=0}\end{array}\right.$取$\overrightarrow{n}=（3，1，-2）$，
则直线l与平面α所成角的大小为θ，sinθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\sqrt{10}}{35}$．
∴$θ=arcsin\frac{\sqrt{10}}{35}$，
故选A．

点评 本题考查了空间平面、线的法向量、方向向量，线面角，属于基础题