Question

3．过椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$右焦点的直线$x+y-\sqrt{3}=0$交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为$\frac{1}{2}$，则椭圆M的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由直线方程，代入椭圆方程，求得焦点坐标，利用中点坐标公式及点差法即可求得a和b的关系，又由c=$\sqrt{3}$，即可取得a和b的值，求得椭圆方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
直线$x+y-\sqrt{3}=0$过椭圆的焦点，则焦点坐标为（$\sqrt{3}$，0），
则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．
将A、B代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1②，
相减可得：①-②得到-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，
又OP的斜率为$\frac{1}{2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴a²=2b²，又c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
解得a²=6，b²=3．
椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，利用作差法求椭圆的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．