Question

10．已知p：?x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，使函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx-m有零点，q：函数y=$（\frac{1}{3}）^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上单调递减．
（1）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由特陈命题的性质分析可得当0≤m≤2时，命题p为真；结合复合函数的性质分析可得当m≤8时，命题q为真；结合复合命题的真假判定方法可得p∨q为假命题，即p、q同时为假命题，即有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m＞2}\\{m＞8}\end{array}\right.$，解可得m的取值范围，即可得答案；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，分2种情况讨论：①p为真q为假，②p为假q为真，分别求出m的取值范围，综合可得答案．

解答 解：（1）对于p：函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）-m，
若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，则x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，
则有-m≤f（x）-m≤2-m，
若函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx-m有零点，必有0≤m≤2，
即当0≤m≤2时，命题p为真；
对于q：若函数y=$（\frac{1}{3}）^{2{x}^{2}-mx+2}$在[2，+∞）上单调递减，必有t=2x²-mx+2在[2，+∞）上单调递增，
必有$\frac{m}{4}$≤2，解可得m≤8；
即当m≤8时，命题q为真；
若p∨q为假命题，即p、q同时为假命题，则有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m＞2}\\{m＞8}\end{array}\right.$，解可得m＞8；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，分2种情况讨论：
若p为真q为假，则有$\left\{\begin{array}{l}{0≤m≤2}\\{m＞8}\end{array}\right.$，解集为空集，
若p为假q为真，则有$\left\{\begin{array}{l}{m＜0或m＞2}\\{m≤8}\end{array}\right.$，解可得2＜m≤8或m＜0；
综合可得：m的取值范围是2＜m≤8或m＜0．

点评 本题考查复合命题的真假判定及应用，关键是求出使p、q为真命题的m的取值范围．