Question

13．如图，ABEDEFC为多面体，平面ABED⊥平面ACED，点O在线段AD上，OA=1，OD=2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．
（1）证明：平面OCB∥平面EFD；
（2）求直线OD与平面OEF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：OB∥平面EFD，OC∥平面EFD，即可证明平面OCB∥平面EFD；
（2）求出D到平面OEF的距离，即可求直线OD与平面OEF所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形，
∴OB∥DE，OC∥DF，
∵OB?平面EFD，DE?平面EFD，OC?平面EFD，DF?平面EFD，
∴OB∥平面EFD，OC∥平面EFD，
∵OB∩OC=O，
∴平面OCB∥平面EFD；
（2）解：取OD中点G，连接EG，FG，则FG⊥AD，EG=FG=$\sqrt{3}$
∵平面ABED⊥平面ACED，平面ABED∩平面ACED=AD，
∴FG⊥平面ABED，∴FG⊥EG，
∴EF=$\sqrt{6}$，∴S_△OEF=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
设D到平面OEF的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$，
∴直线OD与平面OEF所成角的正弦值=$\frac{\frac{2\sqrt{15}}{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直线OD与平面OEF所成角的余弦值=$\sqrt{1-\frac{15}{25}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查线面平行、面面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．