Question

14．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，点D为BC的中点；
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）若点E为A₁C上的点，且满足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=m$\overrightarrow{EC}$（m∈R），若二面角E-AD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结A₁C∩AC₁于F，则F为AC₁的中点，连结DF，则A₁B∥DF，由此能证明A₁B∥平面AC₁D．
（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，则∠ENM为二面角E-AD-C的一个平面角，由此利用二面角E-AD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$，能求出m的值．

解答 证明：（Ⅰ）连结A₁C∩AC₁于F，则F为AC₁的中点，
连结DF，则A₁B∥DF，
∵DF?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D．
解：（Ⅱ）过E作EM⊥AC于M，则EM⊥平面ABC，过M作MN⊥AD，垂足为N，连结EN，
则EN⊥AD，∴∠ENM为二面角E-AD-C的一个平面角，
设EM=h，则$\frac{h}{3}$=$\frac{CM}{2}$，∴CM=$\frac{2h}{3}$，∴AM=2-$\frac{2h}{3}$，
∵$\frac{MN}{CD}=\frac{AM}{AC}$，∴MN=$\frac{AM}{AC}=1-\frac{h}{3}$，
∴EN²=EM²+MN²=h²+（1-$\frac{h}{3}$）²，
∵cos$∠ENM=\frac{\sqrt{10}}{10}$，故$\frac{（1-\frac{h}{3}）^{2}}{{h}^{2}+（1-\frac{h}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{10}$，解得h=$\frac{3}{2}$，
此时，点E为A₁C的中点，∴m=1．

点评 本题考查线面平行的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．