Question

16．已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于a≥（2ln x+x+$\frac{3}{x}$）_min，记h（x）=2ln x+x+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（ln x+1），
令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，
所以f（x）在$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\frac{1}{e}））$上单调递减；在$\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\frac{1}{e}，+∞））$上单调递增．
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，
即2xln x≤-x²+ax-3在x∈（0，+∞）能成立，
等价于a≥2ln x+x+$\frac{3}{x}$在x∈（0，+∞）能成立，
等价于a≥（2ln x+x+$\frac{3}{x}$）_min．
记h（x）=2ln x+x+$\frac{3}{x}$，x∈（0，+∞），
则h′（x）=$\frac{2}{x}$+1-$\frac{3}{x2}$=$\frac{x2+2x-3}{x2}$=$\frac{?x+3??x-1?}{x2}$．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．