Question

6．若命题“?x∈[-1，1]，1+2^x+a•4^x＜0”是假命题，则实数a的最小值为-6．

Answer 1

分析 依题意，“?x₀∈[-1，1]，使得1+2x₀+a•4x₀≥0成立，分离a，利用配方法与指数函数的性质即可求得实数a的最小值．

解答 解：∵命题“?x∈[-1，1]，1+2^x+a•4^x＜0”是假命题，
∴?x₀∈[-1，1]，使得1+2x₀+a•4x₀≥0成立，
令${2}^{{x}_{0}}$=t，∴$\frac{1}{2}≤t≤2$，g（t）=-（t²+t）．则a≥g（t）_min．
g（t）=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤-6，
∴a≥-6，∴实数a的最小值为-6．
故答案为-6．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的关系，考查存在性命题成立问题，考查转化思想与思维运算能力，属于难题．