Question

11．已知函f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；
（Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$f（\frac{B}{2}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=1，$c=\sqrt{3}$，且a＞b，求角B和角C．

Answer 1

分析 （I）根据两角差的正弦公式、特殊角的三角函数值化简解析式，由三角函数的周期公式函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的最值求出最大值及取得最大值时x的集合；
（II）由（Ⅰ）化简$f（\frac{B}{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，由B的范围和特殊角的三角函数值求出B，由条件和正弦定理列出方程求出sinC，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C，并结合条件验证边角关系．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$-cos2x…（1分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}cos2x=\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{3}）$…（2分）
∴函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$…（3分）
当$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即$x=kπ+\frac{5}{12}π，k∈Z$时，
f（x）取最大值为$\sqrt{3}$，…（4分）
这时x的集合为$\{x|x=kπ+\frac{5}{12}π，k∈Z\}$…（5分）
（Ⅱ）由（I）知，$f（\frac{B}{2}）=\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$sin（B-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，…（6分）
∵0＜B＜π，∴$-\frac{π}{3}＜B-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$…（7分）
∴$B-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}，即B=\frac{π}{6}$，…（8分）
$又∵b=1，c=\sqrt{3}$，
∴由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，则$sinC=\frac{csinB}{b}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（9分）
∵C为三角形的内角，∴$C=\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}$…（10分）
$当C=\frac{π}{3}时，A=\frac{π}{2}$；…（11分）
$当C=\frac{2π}{3}时，A=\frac{π}{6}$，
由a＞b得A＞B，则$A=\frac{π}{6}$舍去，
∴$B=\frac{π}{6}，C=\frac{π}{3}$…（12分）

点评 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦定理，正弦函数的最值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，注意内角的范围和边角关系．