Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$（λ∈R）．
（1）若$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，求|$\overrightarrow{c}$|的值；
（2）λ何值时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角最小？此时$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的位置关系如何？

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出$\overrightarrow{c}$的坐标表示，再求|$\overrightarrow{c}$|；
（2）解法一：设$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，根据夹角θ最小时θ=0，求出λ的值，并得出$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$共线同向．
解法二：设$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，求出夹角的表达式，利用夹角最小求出θ的值，得出λ，从而得出$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$共线同向．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，4），
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$=（1-3λ，2+4λ）；
又$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=-3（1-3λ）+4（2+4λ）=5+25λ=0，
解得λ=-$\frac{1}{5}$，
∴$\overrightarrow{c}$=（$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{（\frac{8}{5}）}^{2}{+（\frac{6}{5}）}^{2}}$=2；
（2）解法一：设$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，θ∈[0，π]，
要使夹角θ最小，则θ=0，即$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$共线同向；
∵$\overrightarrow{c}$=（1-3λ，2+4λ），$\overrightarrow{a}$=（1，2），且$\overrightarrow{c}$∥$\overrightarrow{a}$，
∴2（1-3λ）=2+4λ，解得λ=0，
此时$\overrightarrow{c}$=（1，2），满足$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$共线同向．
解法二：设$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，则
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{5+5λ}{\sqrt{5}×\sqrt{2{5λ}^{2}+10λ+5}}$=$\frac{1+λ}{\sqrt{{5λ}^{2}+2λ+1}}$，
要$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角最小，则cosθ最大，
∵0≤θ≤π，故cosθ的最大值为1，此时θ=0，cosθ=1，
∴$\frac{1+λ}{\sqrt{{5λ}^{2}+2λ+1}}$=1，
解得λ=0，
∴$\overrightarrow{c}$=（1，2）；
∴λ=0时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角最小，此时$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$共线同向．

点评 本题考查了平面向量的数量积与坐标运算的应用问题，是基础题目．