Question

6．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在区间（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）内是增函数，则（　　）

• A． f（$\frac{π}{4}$）=-1
• B． f（x）的周期为$\frac{π}{2}$
• C． ω的最大值为4
• D． f（$\frac{3π}{4}$）=0

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的周期性和单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在区间（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）内是增函数，
但不能推出函数f（x）的增区间就是（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），故不能推出f（$\frac{π}{4}$）=-1，f（$\frac{π}{2}$）=1，故排除A；
当然，更不能推出f（$\frac{3π}{4}$）=0，故排除D；
由于$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$不一定是半个周期，可能$\frac{π}{4}$小于半个周期，故排除B；
由于ω•$\frac{π}{4}$+φ≥2kπ-$\frac{π}{2}$，ω$•\frac{π}{2}$+φ≤2kπ+$\frac{π}{2}$，且$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{4}$，
∴ω≥$\frac{8kπ-2π-4φ}{π}$，ω≤$\frac{4kπ+π-2φ}{π}$，且ω≤4．
令k=1，可得6-$\frac{4φ}{π}$≤ω≤5-$\frac{2φ}{π}$，且ω≤4，故ω的最大值为4，故C满足条件；
故选：C．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．