Question

17．设双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若|AF₁|：|AB|=3：4，且F₂是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 根据双曲线的定义得到三角形F₁AB是直角三角形，根据勾股定理建立方程关系即可得到结论．

解答 解：设|AB|=4x，则|AF₁|=3x，|AF₂|=x，
∵|AF₁|-|AF₂|=2a，∴x=a，
∴|AB|=4a，|BF₁|=5a，
∴满足|AF₁|²+|AB|²=|BF₁|²，
则∠F₁AB=90°，
则|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即9a²+a²=4c²，
即10a²=4c²，
得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故选B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的求解，根据条件结合双曲线的定义判断三角形F₁AB是直角三角形是解决本题的关键．