Question

2．已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q两点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（1）当l与m垂直时，求直线l的方程，并判断圆心C与直线l的位置关系；
（2）当|PQ|=2$\sqrt{3}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据直线m的一个法向量为（1，3），求得直线l的一个方向向量，由此求得l的点向式方程，可得直线l过圆心．
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$得圆心C到直线l的距离d=1，设直线l的方程为x-ny+1=0，求得n的值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）因为l与m垂直，直线m的一个法向量为（1，3），
所以直线l的一个方向向量为$\overrightarrow{d}$=（1，3），所以l的方程为$\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}$，即3x-y+3=0．
所以直线l过圆心C（0，3）．
（2）由|PQ|=2$\sqrt{3}$，得圆心C到直线l的距离d=1，
设直线l的方程为x-ny+1=0，则由d=$\frac{|1-3n|}{\sqrt{1+{n}^{2}}}$=1．
解得n=0，或n=$\frac{3}{4}$，
所以直线l的方程为x+1=0或4x-3y+4=0．

点评 本题主要考查两条直线垂直的性质，点到直线的距离公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．