Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，$AD=AB=\frac{1}{2}CD=1$，PA⊥平面ABCD，E为PD中点，且PC⊥AE．
（1）求证：PA=AD；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AE⊥平面PCD，AE⊥PD，利用E为PD中点P，可得A=AD；
（2）利用等体积方法，求点A到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，
∴AE⊥CD，
∵PC⊥AE，PC∩CD=C，
∴AE⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴AE⊥PD，
∵E为PD中点，
∴PA=AD；
（2）解：由题意，PA=AD=1，S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
△PBC中，PB=CB=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{6}$，∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
设点A到平面PBC的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．