Question

17．如图所示，已知长方体ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．
（1）求证：平面ADM⊥平面ABCM；
（2）若点E为线段DB的中点，求点E到平面DMC的距离．

Answer 1

分析 （1）证明：BM⊥平面ADM，即可证明平面ADM⊥平面ABCM；
（2）若点E为线段DB的中点，利用等体积方法求点E到平面DMC的距离．

解答 （I）证明：∵AD=DM=2，CM=BC=2，∠ADM=∠BCM=90°，
∴AM=BM=2$\sqrt{2}$，又AB=4，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
∴AD⊥BM，AD∩AM=A，
∴BM⊥平面ADM，
∵BM?平面ABCM，
∴平面ADM⊥平面ABCM；
（2）解：取AM的中点F，连接DF，CF，则，DM=MC=2，DC=DF=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△DMC=$\sqrt{3}$，
设点E到平面DMC的距离为d，则V_E-DMC=$\frac{1}{2}{V}_{B-DMC}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-BMC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△BMC}h$=$\frac{1}{6}×2×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴d=$\frac{3{V}_{E-DMC}}{{S}_{△DMC}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．