Question

5．已知过抛物线y²=8x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|=10，则|AF|•|BF|=20．

Answer 1

分析 由抛物线y²=8x与过其焦点（2，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，再依据抛物线的定义得出|AF|•|BF|=x₁x₂+x₁+x₂+1，由韦达定理可以求得答案．

解答 解：由题意知，抛物线y²=8x的焦点坐标为（2，0），设直线AB的方程为y=k（x-2），
与抛物线方程联立，可得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则 x₁+x₂=4+$\frac{8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
依据抛物线的定义得出|AB|=10，∴x₁+x₂+4=10，∴x₁+x₂=6，
|AF|•|BF|=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4=4+12+4=20，
故答案为20．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决．