Question

10．已知椭圆C与双曲线y²-x²=1有共同焦点，且离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（1）设A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率之积为-3
①试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
②若P点为椭圆C上异于M，N的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，椭圆的焦点坐标为（0，±$\sqrt{2}$），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）①设直线MN的方程为x=ky+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+3）x²+2kmx+m²-3=0．由此利用韦达定理、直线斜率，结合已知条件，能求出直线MN恒过（0，0）．
②推导出OP⊥MN，设OP所在直线方程为y=-$\frac{1}{k}x$，则${{x}_{P}}^{2}=\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，${{y}_{P}}^{2}=\frac{3}{3{k}^{2}+1}$，由此利用三角形面积公式、基本不等式性质，能求出k=±1时，△MNP的面积最小，并能求出最小值．

解答 解：（1）由题意，椭圆的焦点坐标为（0，±$\sqrt{2}$），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∴c=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{3}$，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}$=1；
（2）①若MN的斜率不存在，设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
则k_AM•k_AN=$\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}•\frac{-{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$=$\frac{3-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}}$=-3，
而${{y}_{1}}^{2}≤3$，故不成立，∴直线MN的斜率存在，
设直线MN的方程为x=ky+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（k²+3）x²+2kmx+m²-3=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{2km}{{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$，${k}_{AM}=\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$，${k}_{AN}=\frac{{y}_{2}+\sqrt{3}}{{x}_{2}}$，
∵直线AM与直线AN斜率之积为-3．
∴k_AM•k_AN=$\frac{{y}_{1}+\sqrt{3}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+\sqrt{3}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{k}_{\;}{x}_{1}+m+\sqrt{3}）（{kx}_{2}+m+\sqrt{3}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+k（m+\sqrt{3}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m+\sqrt{3}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{{k}^{2}•\frac{{m}^{2}-3}{{k}^{2}+3}+k（m+\sqrt{3}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+（m+\sqrt{3}）^{2}}{\frac{{m}^{2}-3}{{k}^{2}+3}}$
=$\frac{3（m+\sqrt{3}）}{m-\sqrt{3}}$=-3，
整理得m=0．
∴直线MN恒过（0，0）．
②由①知${{x}_{M}}^{2}=\frac{3}{{k}^{2}+3}$，${{y}_{M}}^{2}=\frac{3{k}^{2}}{{k}^{2}+3}$，
∵|MP|=|NP|，∴OP⊥MN，
当k≠0时，设OP所在直线方程为y=-$\frac{1}{k}x$，则${{x}_{P}}^{2}=\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，${{y}_{P}}^{2}=\frac{3}{3{k}^{2}+1}$，
当k=0时，也符合上式，
∴S_△MNP=|OM|•|OP|=$\sqrt{{{x}_{M}}^{2}+{{y}_{M}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{P}}^{2}+{{y}_{P}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+3}}$•$\sqrt{\frac{3（{k}^{2}+1）}{3{k}^{2}+1}}$=3$\sqrt{\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{（{k}^{2}+3）（3{k}^{2}+1）}}$，
令k²+1=t（t≥1），k²=t-1，
${S}_{△MNP}=3\sqrt{\frac{{t}^{2}}{3{t}^{2}+4t-4}}$=3$\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{4}{t}+3}}$，
∵t≥1，∴0$＜\frac{1}{t}≤1$．
当$\frac{1}{t}=\frac{1}{2}$，即t=2时，-$\frac{4}{{t}^{2}}+\frac{4}{t}+3$取最大值4，
∴当k²=1，即k=±1时，△MNP的面积最小，最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线是否过定点的判断与证明，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线斜率、基本不等式、椭圆性质的合理运用．