Question

14．在平面直角坐标系xOy中，原点为O，抛物线C的方程为x²=4y，线段AB是抛物线C的一条动弦．
（1）求抛物线C的准线方程和焦点坐标F； 
（2）若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线C的方程为x²=4y，真假写出准线方程，焦点坐标．
（2）设直线AB方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-4$，求出b，得到直线方程，然后求出定点坐标．

解答 解：（1）抛物线C的方程为x²=4y，可得准线方程：y=-1焦点坐标：F（0，1）
（2）证明：设直线AB方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+b\\{x^2}=4y\end{array}\right.$得 x²-4kx-4b=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=-4b\end{array}\right.$，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+\frac{{{x_1}^2{x_2}^2}}{16}=-4$，
∴x₁x₂=-8，
∴-4b=-8，b=2，
直线y=kx+2过定点（0，2）．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．