Question

16．已知点P（0，4），Q为圆x²+y²=8上的动点，当Q在圆上运动时，PQ的中点M的运动轨迹为C，直线l：y=kx与轨迹C交于A，B两点．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设E（m，n）是线段AB上的点，且$\frac{3}{{{{|{OE}|}^2}}}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$，请将n表示为m的函数．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求动点M的轨迹C的方程；
（2）直线l：y=kx与轨迹C联立，可得（1+k²）x²-4kx+2=0，利用韦达定理及$\frac{3}{{{{|{OE}|}^2}}}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$，即可得出结论．

解答 解：（1）设M（x，y），Q（x₀，y₀），∵P（0，4），M为PQ的中点，
∴x₀=2x，y₀=2y-4，代入x₀²+y₀²=8，可得动点M的轨迹C的方程x²+（y-2）²=2；
（2）直线l：y=kx与轨迹C联立，可得（1+k²）x²-4kx+2=0，
△=16k²-8（1+k²）＞0，可得k＜-1或k＞1，
设A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），n=mk，则x₁+x₂=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$
∵$\frac{3}{{{{|{OE}|}^2}}}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$，
∴代入整理可得$\frac{3}{{m}^{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$=3k²-1，
∵k＜-1或k＞1，∴-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$且m≠0，
∵n=mk，3n²-m²=3，E在圆C内，n＞0，
∴n=$\frac{\sqrt{3{m}^{2}+9}}{3}$（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$且m≠0）．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．