Question

4．双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦点分别是F₁（-c，0），F₂（c，0），M，N两点在双曲线上，且MN∥F₁F₂，|F₁F₂|=3|MN|，线段F₁N交双曲线C于点Q，且Q是线段F₁N的中点，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 3
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可设N（$\frac{1}{3}$c，y），由中点坐标公式可得Q的坐标，将N，Q的坐标分别代入双曲线方程，解方程结合离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：因为MN∥F₁F₂，|F₁F₂|=3|MN|，F₁（-c，0），
所以|MN|=$\frac{2}{3}$c，则可设N（$\frac{1}{3}$c，y），
由Q是线段F₁N的中点知$Q（-\frac{c}{3}，\frac{1}{2}y）$．
分别将N，Q的坐标代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
得$\frac{{\frac{c^2}{9}}}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$\frac{\frac{{c}^{2}}{9}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，解得$\frac{c^2}{a^2}=9$，
所以$e=\frac{c}{a}=3$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，注意运用中点坐标公式和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．