Question

14．已知函数f（x）=x^m-$\frac{2}{x}$且f（4）=$\frac{7}{2}$，
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
（3）求f（x）在[2，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据$f（4）=\frac{7}{2}$，带入计算可得m的值．
（2）求解f（x）的解析式，利用定义域证明即可．
（3）利用单调性求解f（x）在[2，5]上的值域即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x^m-$\frac{2}{x}$，
由f（4）=$\frac{7}{2}$，
可得：${4}^{m}-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$，
解得：m=1．
∴m的值为1．
（2）由（1）可得f（x）=x-$\frac{2}{x}$，
设0＜x₁＜x₂，则$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}}+\frac{2}{{x}_{2}}$=${（x}_{1}-{x}_{2}）-\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）由2可知f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，即在[2，5]上的也是增函数．
当x=2时，f（x）取得最小值为1，
当x=5时，f（x）取得最大值为$\frac{23}{5}$，
故得f（x）在[2，5]上的值域为[1，$\frac{23}{5}$]．

点评 本题主要考擦了函数解析式的求法，单调性的定义证明以及利用单调性求解值域问题．属于基础题