Question

18．已知函数$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx-2{cos^2}x-1，x∈R$．
（I）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$c=\sqrt{3}，f（C）=0，sinB=2sinA$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （I）根据二倍角公式以及变形、两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的最值求出最小值；
（II）由（Ⅰ）化简f（C）=0，由C的范围和特殊角的三角函数值求出C，由正弦定理、余弦定理化简后列出方程，联立方程求出a、b的值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x-1=\sqrt{3}sin2x-（cos2x+1）-1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x-2=2sin（2x-\frac{π}{6}）-2$，…（4分）
所以f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，
且f（x）的最小值为-4．…（6分）
（Ⅱ）因为$f（C）=2sin（2C-\frac{π}{6}）-2=0$，所以$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$．
又$C∈（0，π），2C-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$，
所以$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，得$C=\frac{π}{3}$．…（8分）
因为sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，…（10分）
由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC=a²+4a²-2a²=3a²，
又$c=\sqrt{3}$，解得a=1，b=2．…（12分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，二倍角公式以及变形、两角差的正弦公式，三角函数的周期公式，以及正弦函数的最值的应用，考查化简、变形能力．