Question

3．已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=sin（A+C），cos（A-C）+cosB=$\sqrt{3}$c．
（1）求角A的大小；
（2）求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理可得：a=sinA，c=sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinAsinC=$\sqrt{3}c$，从而可求a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinA，结合A为锐角，可求A的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b+c=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），由B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），可求范围B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）∵b=sin（A+C），可得：b=sinB，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得：a=sinA，c=sinC，
∵cos（A-C）+cosB=$\sqrt{3}$c，可得：cos（A-C）-cos（A+C）=$\sqrt{3}$c，
可得：cosAcosC+sinAsinC-（cosAcosC-sinAsinC）=$\sqrt{3}c$，
∴2sinAsinC=$\sqrt{3}c$，
∴2ac=$\sqrt{3}c$，可得：a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sinA，
∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，
∴b+c=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B+C=$\frac{2π}{3}$，B，C为锐角，可得B∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴b+c=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．