Question

12．已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，过F₂作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠PF₁Q=$\frac{π}{2}$，则双曲线的离心率e等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$+2
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 根据题设条件我们知道|PQ|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，因为∠PF₂Q=90°，则2（$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$+4c²）=$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}}$，据此可以推导出双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知通径|PQ|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵∠PF₂Q=90°，∴2（$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$+4c²）=$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}}$，∴b⁴=4a²c²
∵c²=a²+b²，∴c⁴-6a²c²+a4=0，∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$或e²=3-2$\sqrt{2}$（舍去）
∴e=$\sqrt{2}$+1．
故选B．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查计算能力．