Question

13．若实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$则$\frac{2y}{2x+1}$的取值范围是[$\frac{4}{3}$，4]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由$\frac{2y}{2x+1}$=$\frac{y}{x+\frac{1}{2}}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（$-\frac{1}{2}$，0）连线的斜率求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x＞0\\ y≤2\end{array}\right.$作出可行域，

B（0，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得A（1，2），
$\frac{2y}{2x+1}$=$\frac{y}{x+\frac{1}{2}}$，其几何意义为可行域内的动点与定点P（$-\frac{1}{2}$，0）连线的斜率．
∵${k}_{PA}=\frac{2-0}{1+\frac{1}{2}}=\frac{4}{3}$，${k}_{PB}=\frac{2-0}{0-（-\frac{1}{2}）}=4$．
∴$\frac{2y}{2x+1}$的取值范围是[$\frac{4}{3}$，4]．
故答案为：[$\frac{4}{3}$，4]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．