Question

2．如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．
（Ⅰ）用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{DE}$．
（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据平面向量的线性表示与运算法则，用$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{DE}$即可；
（Ⅱ）根据平面向量的数量积与模长公式，求出|$\overrightarrow{DE}$|即可．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，
且AB=3AD，BC=2BE；
∴$\overrightarrow{DB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）设AB=6，AC=4，A=60°，
则${\overrightarrow{DE}}^{2}$=$\frac{1}{36}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2×$\frac{1}{6}$×$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$\frac{1}{36}$×6²+$\frac{1}{6}$×6×4×cos60°+$\frac{1}{4}$×4²
=7，
∴|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{7}$，
即线段DE的长为$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算以及数量积运算的应用问题，是基础题目．