Question

17．已知函数f（x）=x²-2x+mlnx（m∈R），g（x）=（x-$\frac{3}{4}$）e^x．
（1）若m=-1，函数φ（x）=f（x）-[x²-（2+$\frac{1}{a}$）x]（0＜x≤e）的最小值为2，求实数a的值；
（2）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求g（x₁-x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）$φ（x）=\frac{1}{a}x-lnx$，$φ'（x）=\frac{x-a}{ax}$，对a分类讨论即可的．
（Ⅱ）f′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+m}{x}$（x＞0），令f′（x）=0，得2x²-2x+m=0，f（x）存在两个极值点x₁，x₂，（x₁＜x₂），可得上述方程在（0，+∞）上有两个不等实根x₁，x₂，可得x₁-x₂范围．g′（x）=$（x+\frac{1}{4}）$e^x，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）$φ（x）=\frac{1}{a}x-lnx$，$φ'（x）=\frac{x-a}{ax}$，…（1分）
当a＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，e]上是减函数，$φ{（x）_{min}}=φ（e）=\frac{e}{a}-1＜0$，不合题意．…（2分）
当a＞0时，由φ'（x）＞0解得x＞a，由φ'（x）＜0解得0＜x＜a，
∴φ（x）在（0，a]上是减函数，φ（x）在（a，+∞）上是增函数     …（3分）
①当0＜a≤e时，φ（x）在（0，a）上是减函数，
φ（x）在（a，e）上是增函数φ（x）_min=φ（a）=1-lna=2，∴a=$\frac{1}{e}$，合题意．…（4分）
②当a＞e时，φ（x）在（0，e]上是减函数$φ{（x）_{min}}=φ（e）=\frac{e}{a}-1=2$，∴$a=\frac{e}{3}$，不合题意．…（5分）
综上述：a=$\frac{1}{e}$．…（6分）
（Ⅱ）f′（x）=2x-2+$\frac{m}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-2x+m}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，得2x²-2x+m=0①，…（7分）
∵f（x）存在两个极值点x₁，x₂，（x₁＜x₂），
∴方程①在（0，+∞）上有两个不等实根x₁，x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4-8m＞0}\\{\frac{m}{2}＞0}\end{array}\right.$，?$0＜m＜\frac{1}{2}$，且x₁+x₂，=1，$0＜{x}_{1}＜\frac{1}{2}$，…（8分）
x₁-x₂=x₁-（1-x₁）=2x₁-1∈（-1，0）…（9分）
g′（x）=$（x+\frac{1}{4}）$e^x，当x∈$（-1，-\frac{1}{4}）$时，g′（x）＜0；当x∈$（-\frac{1}{4}，0）$时，g′（x）＞0．
g（x）在$（-1，-\frac{1}{4}）$上是减函数，g（x）在$（-\frac{1}{4}，0）$上是增函数     …（11分）
∴g（x₁-x₂）的最小值为$g（-\frac{1}{4}）$=-${e}^{-\frac{1}{4}}$．…（12分）

点评 本小题主要考查函数的最值、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．属于难题．