Question

9．已知函数f（x）=e^x-ax（e自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）讨论关于x的方程f（x）=a的根的个数；
（3）若a≥1，当xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m对任意x∈[0，+∞）恒成立时，m的最大值为1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-a，对a分类讨论，即可得出函数f（x）的单调区间．
（2）由（1）可得：对a分类讨论，利用其单调性即可得出：方程f（x）=a的根的个数．
（3）a≥1时，xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m，化为：x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1≥m，令g（x）=x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1，x∈[0，+∞）．g′（x）=（1+x）[e^x-3（x+a）]，令h（x）=e^x-3（x+a），可得h′（x）=e^x-3，可得：函数h（x）存在唯一零点x₀．令g′（x）=0，可得${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．利用g（x₀）≥1，化为：a≥$\frac{2}{3}{x}_{0}$-3，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
当a≤0时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=lna．则x∈（-∞，lna）时，此时函数f（x）单调递减；
x∈（lna，+∞）时，此时函数f（x）单调递增．
综上可得：当a≤0时，函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（-∞，lna）；函数f（x）单调递增区间是[lna，+∞）．
（2）由（1）可得：①当a＜0时，函数f（x）在R上单调递增．
x→+∞时，f（x）→+∞；x→-∞时，f（x）→-∞．
因此此时方程f（x）=a的根的个数为1．
②a=0时，f（x）=e^x＞0，此时方程f（x）=a的根的个数为0．
③当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间是（-∞，lna）；函数f（x）单调递增区间是[lna，+∞）．
可得函数f（x）的极小值即最小值为：f（x）_min=f（lna）=a-alna，
因此a=1时，f（x）_min=f（0）=1，∴此时方程f（x）=a的根的个数为1．
a＞1时，f（x）_min=f（lna）=a-alna＜a，∴此时方程f（x）=a的根的个数为2．
0＜a＜1时，f（x）_min=f（lna）=a-alna＞a，∴此时方程f（x）=a的根的个数为0．
综上可得：①当a＜0时，此时方程f（x）=a的根的个数为1．
②a=0时，此时方程f（x）=a的根的个数为0．
③当a＞0时，a=1时，此时方程f（x）=a的根的个数为1．
a＞1时，此时方程f（x）=a的根的个数为2．
0＜a＜1时，此时方程f（x）=a的根的个数为0．
（3）a≥1时，xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m，化为：x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1≥m，
令g（x）=x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1，x∈[0，+∞）．
g′（x）=（1+x）[e^x-3（x+a）]，
令h（x）=e^x-3（x+a），可得h′（x）=e^x-3，
因此当x=ln3时，h（x）取得极小值，即最小值，h（ln3）=3-3（ln3+a）＜0，
且h（0）=1-3a＜0；x→+∞时，h（x）→+∞．
因此函数h（x）存在唯一零点x₀，．
令g′（x）=0，可得${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．
可得：当x=x₀时，函数g（x）取得极小值，即最小值．
∴g（x₀）=x₀$（{e}^{{x}_{0}}-a{x}_{0}）$-${x}_{0}^{3}$+$\frac{5a+3}{2}{x}_{0}^{2}$-3ax₀+1≥1，
化为：a≥$\frac{2}{3}{x}_{0}$-3，其中x₀满足：${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值并且研究方程的根的个数、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．